QUANTITAVE REASONING

Arithmetic

1.1 整数 integers

1. concepts

   • 因数（factor）/ 因子（divisor）倍数（multiple）

   • 最小公倍数least common multiple、最大公因数great common divisor/factor

   • 商quotient 余数remainder

   • A is divided by B && A is divisible by B，后者表示能除尽，前者不一定

   • 奇数odd 偶数even

   • 质数prime 合数composite

   • 有理数rational numbers

   • 完全平方数perfect 完全立方数square perfect cube

   • 连续整数consecutive integers

2. properties

   奇偶性

   相加减个数	odd/even	结果
   奇数个	奇	奇
   偶	奇	奇
   	奇偶都有	奇数
   偶	偶	偶

   • \(\prod^{n}{Ni}\) 结果为奇，Ni全为奇
   • \(\prod^{n}{Ni}\)结果为偶，Ni中至少有一个偶
   • \(\sum^{n}{Ni}=0\) ，Ni为连续整数，则n为奇
   • \(\sum^{n}{Ni}=0\)，Ni为连续奇数，则n为偶
   • \(\sum^{n}{Ni}=0\)，Ni为连续偶数，则n为奇

   factor and multiple 约数和倍数

   • a为质数，n为非负整数，则\({a^n}\) 的因子有n+1个，包括1和本身

   平方数

   • 偶平方数能被4整除
   • 奇平方数可写作8k+1

   因子 factor

   • 因子数的求法：将n分解为质因子相乘的形式，\({n=a^x*b^y*c^z}\) ，则因子数\(=(x+1)(y+1)(z+1)\)
   • 自然数n不是完全平方数，则n的因子中小于\(\sqrt{n}\)的占一半，大于\(\sqrt{n}\)的占一半
   • 自然数n是完全平方数，则\(\sqrt{n}\) 也为一个因子，并且除此之外，小于\(\sqrt{n}\)的占一半，大于\(\sqrt{n}\)的占一半
   • 推论：若一个自然数有奇数个因子，则其必为完全平方数

1.2 分数 fraction

• 分子numerator 分母denominator

• 倒数reciprocal

• 带分数mixed fraction

• 真分数proper fraction，假分数improper

1.3 小数 decimals

数位digit
千位	thousands digit
百位	hundreds
十位	tens
个位	one or units
十分位	tenths
百分位	hundredths
千分位	thousandths

• 有限小数terminating decimal 循环小数repeating decimal（循环小数会在循环的位数上加一根横线）
• 科学计数法scientific notation

1.5 比率 ratio

1.6 百分比 percentage

Algebra

2.1 乘方与开方 powers & roots

• 指数exponent 底数base
• 平方根square root 立方根cube root

2.2 实数 real numbers

• 数轴 number line
• 间距（interval）：不等式端点之间的实数集合
• 绝对值absolute value

2.3 变量和表达式 variable and experssion

2.4 方程 equations

• 一元线性方程linear equations with one variable

2.5 代数不等式 algebraic inequalities

• \({若0<a<b且m>0 ，则\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}}\)
• 三角不等式 \(||a|-|b||<=|a+b| <= |a|+|b|\)
• 三角不等式 \(||a|-|b||<=|a-b| <= |a|+|b|\)

2.6 函数 functions

• 自变量independent variable，因变量 dependent variable

2.7 代数文字题

1. currency: cent1分，dime10分（一角），quarter25分，nickel5分

2. 投资问题

   • discount 折扣

   • interest 利息

   • simple interest 单利：不论期限长短，仅按本金principal计算利息。本利和\(A=p(1+n*r)\) n时间，r利率

   • compound interest 复利：与单利相对，利息算入本金再继续计算，“利滚利”。\(A=p(1+r)^{n}\)

     ps.单利与复利计算时，注意单位换算，如半年or三个月

   • rate/percent of interest 利率：年、月、日率

   • profit 利润 gain/loss 盈亏

3. 牛吃草问题：两个未知数，初始草量S0，草生长速度v，方程：\(t*n=S_0+t*v\)，其中n为牛的数目

4. 集合问题最好列表格，各个类别作表名，清晰直观

Sets, Permutation, Combination and Probability

3.1 统计问题

• arithmetic mean/average 算数平均数
• geometric average 几何平均数：n个数的乘积开n次方
• 算数_{大于等于几何}：\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)相等时取等号
• median中位数，求中位数时先从小到大排序
• mode 众数
• range值域，\(range=max-min\)
• standard deviation 标准差 最后一定记得开根号！！！\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\hat{x})^2}{n}}\) ps.当题目为随机选择的n个数求标准差时，上式分母为n-1
• frequency distribution 频率分布

3.2级数与数列

• 等差数列arithmetic sequence
  • \(a_n=a_1+(n-1)d\)
  • \(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)
• 等比数列geometric sequence
  • \(a_n=a_1*q^{n-1}\)
  • \(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)

3.3 排列组合和概率

• 排列\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)
• 组合 \(C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

Geometry

4.1 平面几何 plane geometry

• 对顶角 vertical angle
• 钝角obtuse angle 锐角acute angle 直角right angle
• 补角supplementary angle 余角complementary angle

4.2 三角形的角和边 angles and sides of triangles

• \(|a-b|<c<a+b\)
• 设c为最大的边，若\(a^2+b^2<c^2\)，则为钝角三角形，若\(a^2+b^2>c^2\)，则为锐角三角形
• 等腰三角形isosceles triangles
• 等边三角形equilateral triangles，面积\(Area=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

4.4 四边形 quadrilaterals

• square, rectangle, parallelogram平行四边形, rhombus菱形, trapezoid梯形

4.5 圆 circle

• 半径radius，直径diameter，弦chord（连接圆上任意两点的线段），周长circumference，弧arc
• 圆的切线tangent，割线secant（与圆有两个交点的直线）
• 圆心角central angle，圆周角inscribed angle。圆心角等于同一弧所对的圆周角的二倍
• 扇形sector
• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这段弦，也平分所对应的圆周角圆心角

4.7 立体几何 solids geometry

• 圆柱体cylinders：下底面the circular base，上底面the circular top
• 圆锥cones，表面积\(S=\pi{r}^2+\pi{rl}\)，体积\(V=\frac{1}{3}\pi{r}^2h\)
• 球balls，表面积\(S=4\pi{r}^2\)，体积\(V=\frac{4}{3}\pi{r}^3\)

4.8 坐标几何 coordinate geometry

• 四个象限the four quadrants
• 斜率slope 截距intercept

Data Interpretation

• 图表按比例给出drawn to scale